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江苏省公务员考试数学运算巧解余数问题

Tag: 数学运算 江苏省公务员 江苏公务员 2015-08-10    来源:江苏公务员资讯网 【 打印 】 我要提问我要提问
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  江苏省公务员考试数学运算题中有一类问题,被称为“余数问题”。学宝云课堂老师介绍,常见的出题方式为:给出条件,假定某个数满足除以a余x,除以b余y,除以c余z,其中a、b、c两两互质,求满足这样条件的数是多少(有几个)。而对于解决这类问题常采用枚举法和代入排除法两种,但效率并不是很高,江苏公务员考试网在此列举一些处理这类问题的特殊方法。
  一、类别一:特殊余数问题
  1、条件:余数相同
  思路:除数的最小公倍数+余数
  【例1】三位数的自然数P满足:除以4余2,除以5余2,除以6余2,则以下符合条件的自然数P是(   )。
  A.120                B.122                C.121                D.123
  【解析】根据题目条件余数相同,均为余2,而4,5,6的最小公倍数为60,因此数P满足:P=60n+2 ,(n=0,1,2,3……),而当n=2时,P=122,故答案为B。
  2、条件:除数和余数的和相同
  思路:除数的最小公倍数+和(除数加余数的和)
  【例2】三位数的自然数P满足:除以5余3,除以6余2,除以7余1,则符合条件的自然数P有多少个?(   )
  A.3                B.2                C.4                D.5
  【解析】根据题设,发现除数与余数的和相加均为8,而5,6,7的最小公倍数为210,所以数P满足P=210n+8(n=0,1,2……),而在100至999以内满足条件的自然数有218,428,638,848四个数,故答案为C。
  3、条件:除数和余数之差相同
  思路:除数的最小公倍数-差(除数减余数的差)
  【例3】某校三年级学生进行排队,发现每5人一排多1人,每6人一排多2人,每7人一排3多人,问这个年级至少有多少人?(   )
  A.206                B.202                C.237                D.302
  【解析】观察题干可发现,除数与余数的差均为4,又5,6,7的最小公倍数为210,所以数P满足P=210n-4(n=1,2,3……),当n=1时,P为206,故答案为A。另外,本题可采取代入排除法直接验算,也能快速得到答案。
  二、类别二:一般余数问题
  有时候遇到的余数并不满足以上所有条件,这类问题比以上问题更为麻烦一些,解决它们的一般思路是求出满足题干中两个条件的通项公式,再利用同余特性加以解决。举例如下:
  【例4】自然数P同时满足除以3余1,除以4余3,除以7余4,求满足这样条件的三位数共有多少个?(   )
  A.10                B.11                C.12                D.13
  【解析】此题为一般余数问题,考虑先取其中两个条件,“除以3余1,除以4余3”,则P=4n+3=3a+1,如果等式两边同时除以3,则左边的余数为n,右边的余数为1,即n=1;故同时满足上述两个条件的最小数为7,则通项为P=12n+7……①;再将①式所得的条件与“除以7余4”的条件结合,即满足题干三个条件的数P=12n+7=7b+4,如果等式两边同时除以7,则左边余5n,右边余4,右边也可认为余25,得到5n=25,n=5,代入①式,得P=67。则满足题干三个条件的数的通项为P=84n+67(n=0,1,2,3……),根据100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11,则符合条件的数共有11个,故答案为B。
  结语:通过以上分析,相信考生对于余数问题有了清晰的思路,那么以后遇到余数问题就能从容解决了。话说回来,如果题目能直接代入排除的,采用代入排除法也不失为一种好的方法。
 
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