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数量关系实用解题法系列之“容斥问题”

Tag: 数量关系 容斥问题 2011-02-28    来源:江苏公务员资讯网 【 打印 】 我要提问我要提问
  一、知识要点
  在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。它的基本形式有两种:
  (1)两个集合的容斥关系:记A、B是两个集合,属于集合A的东西有A 个,属于集合B的东西有B个,既属于集合A又属于集合B的东西记为 A∩B;属于集合A或属于集合B的东西记为A∪B ,则有:A∪B = A+B - A∩B。
  (2)三集合的容斥关系:如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。用符号来表示为:A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C
  二、解题方法
  (1)公式法:当题目中的条件完全符合以下两个公式时,用公式直接代入求解。
  两个集合:A∪B = A+B - A∩B=总个数 ------两者都不满足的个数
  三个集合:A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C=总个数------三者都不满足的个数
  (2)画图法:条件或者所求不完全能用上述两个公式表示时,利用文氏图来解决。画图法核心步骤:
  ①画圈图; ②填数字(先填最外一层,再填最内一层,然后填中间层); ③做计算。
  (3)三集合整体重复型核心公式:
  假如满足三个条件的元素数量分别为A、B、C,总量为M,满足两个条件的总和为x,满足三个条件的个数为y,三者都不满足的条件为p,则有:A∪B∪C= A+B+C-x-2y=M-p。
  三、例题解析:
  例1、现有50名学生都做物理、化学实验,如果物理实验做正确的有40人,化学实验做正确的有31人,两种实验都做错的有4人,则两种实验都做对的有多少人
  A.27人  B.25人  C.19人  D.10人
  【答案】B
  【解析】设两种实验都做对的有x人,根据核心公式:40+31-x=50-4,解得x=25
  例2、某单位有60名运动员参加运动会开幕式,他们着装白色或黑色上衣,黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子,有34人穿黑裤子,29人穿黑上衣,那么穿黑上衣黑裤子的有多少人?
  A.12  B14  C15  D.19
  【答案】C
  【解析】根据核心公式:34+29-x=60-12,解得x=15
  例3、某专业有学生50人,现开设甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程,36人选修乙课程,30人选修丙课程,兼选甲、乙两门课的有28人,兼选甲、丙两门课的有26人,兼选乙、丙两门课程的有24人,甲、乙、丙三门课程均选的有20人,问三门课均未选的有多少人?
  A.1人  B.2人  C.3人  D.4人
  【答案】B
  【解析】根据核心公式:40+36+30-28-26-24+20=50-x,解得x=2
  例4、如图所示,X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片,覆盖住桌面的总面积是290,其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36,那么阴影部分的面积是:
数量关系实用解题法系列之“容斥问题”
  A.15  B.16  C.14  D.18
  【答案】B
  【解析】根据核心公式:64+180+160-24-70-36+x=290,解得x=16
  复杂容斥原理问题、条件或者所求不完全能用上述两个公式表示时,利用文氏图来解决。 画图法核心步骤: 一、画圈图; 二、填数字(先填最外一层,再填最内一层,然后填中间层); 三、做计算 。
  例5、某工作组有12名外国人,其中6人会说英语,5人会说法语,5人会说西班牙语;有3人既会说英语又会说法语,有2人既会说法语又会说西班牙语,有2人既会说西班牙语又会说英语;有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多多少人
  A. 1人  B.2人  C.3人  D.5人
  【答案】C
  【解析】题目中所求条件不能用公式来表示时,用文氏图法。其步骤如下:
  (1)画图,标数字,先填最外层,再填最内层,通过简单的四则运算,最后填中间
数量关系实用解题法系列之“容斥问题”
  (2)只会说一种语言的人为2+2+1=5,一种语言也不会说的人有:12-(2+2+1+2+1+1+1)=2,因此,只有说一种语言的比一种语言都不会说的人多5-2=3人。
  例6、某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中,准备参加注册会计师考试的有63人,准备参加英语六级考试的有89人,准备参加计算机考试的有47人,三种考试都准备参加的有24人,准备选择两种考试都参加的有46人,不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人?
  A.120    B.144    C.177    D.192
  【答案】A
  【解析】设接受调查的学生有x人,根据三集合整体重复型核心公式有:63+89+47-46-2×24=x-15,解得x=120。


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