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行测极值问题之一元二次函数求极值

Tag: 2023年 江苏公务员 公务员考试 2022-09-16    来源:江苏公务员考试网 【 打印 】 我要提问我要提问
  极值问题是一类经常出现的考点,考查颇为灵活。其中,利用一元二次函数求极值的题目较为典型。提到一元二次函数大家应该都不陌生,我们都知道其函数图像为一条抛物线,且开口可能向上也可能向下,当开口向上时,函数有极小值;当开口向下时,函数有极大值。但不管是哪种情况,函数总是对称的,所以必然会在对称轴位置处取得极值。那么对称轴怎么求呢?我们可以令函数等于0,得到函数图像与x轴的两个交点,利用函数图像的对称性,找到两个交点的正中间值,即为对称轴的位置。下面让我们来一起做两道题加深一下理解:
 
  例1、厂家生产销售某新型节能产品,产品生产成本是168元,销售定价为238元,一位买家向该厂家预定了120件产品,并提出如果产品售价每降低2元,就多订购8件。则该厂家在这笔交易中所能获得的最大利润是( )元。
 
  A.17920 B.13920 C.10000 D.8400
 
  【解析】C。由题目所给信息,我们知道所求为总利润的最大值。又因为总利润=单件利润×销售量,所以需要把单件的利润以及销售量分别表示出来。具体来看,每一件产品的利润为238-168=70(元),售价每降低2元,利润也会跟着降低2元,所以在这不妨假设售价降低了x个2元,对应单件的利润应表示为(70-2x)元;原销售量为120件,并且售价每降低2元,销售量就会增加8件,因此销售量应表示为(120+8x)件。故总利润为(70-2x)×(120+8x)元。所求为最大利润,即这个函数的极大值。
 
  在这里我们可以利用一元二次函数图像的对称性来求解,先让函数的值等于0,即令:(70-2x)×(120+8x)=0,解得:x1=35或x2=-15。由其对称性可知,x1和x2必关于对称轴对称,换言之,函数图像的对称轴正好位于x1和x2的正中间,即函数的对称轴为也就是说当x=10时,能获得最大利润。代入原函数,最大利润为(70-2×10)×(120+8×10)=10000(元),故选C。
 
  例2、某木苗公司准备出售一批木苗,如果每株以4元出售,可卖20万株,若木苗单价每提高0.4元,就会少卖10000株。那么,在最佳定价的情况下,该公司的最大收入是多少万元?
 
  A.30 B.60 C.90 D.100
 
  【解析】C。题目所求为最大收入,而收入=单价×销售量,因此我们需要把单价和销售量分别表示出来。先来看单价,单价为4元,设提高了x个0.4元,则单价=(4+0.4x)元;销售量为20万株,单价每提高0.4元,销售量便减少1万株,所以销售量=(20-x)万株。因此收入=(4+0.4x)×(20-x)万元,所求的收入最大值就是求这个一元二次函数的极大值。可以利用函数的对称性来求解。令:(4+0.4x)×(20-x)=0,解得x1=-10或x2=20,由其对称性可知,x1和x2必关于对称轴对称,即当x=5时,收入最大,最大收入为(4+0.4×5)×(20-5)=90(万元),故选C。
 
  以上就是关于一元二次函数求极值的题目,希望大家能够借助上述题目把这个知识点搞懂、吃透。
 


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