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行测数学运算难点击破之"同余与剩余"

Tag: 行测 数学运算 2011-03-25    来源:江苏公务员资讯网 【 打印 】 我要提问我要提问
  在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时,就产生余数。被除数(a)÷除数(b)=商(c)……余数(d),其中a、b、c均为整数,d为自然数。其中,余数总是小于除数,即0≤d
  一、同余
  两个整数a、b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a、b对于m同余。
  例如,3除以5的余数是3,18除以5的余数也是3,则称23与18对于5同余。
  对于同一个除数m,两个数和的余数与余数的和同余,两个数差的余数与余数的差同余,两个数积的余数与余数的积同余。
  例如,15除以7的余数是1,18除以7的余数是4
  15+18=33,1+4=5,则33除以7的余数与5同余
  18-15=3,4-1=3,则3除以7的余数与3同余
  15×18=270,1×4=4,则270除以7的余数与4同余
  【例题】
  a除以5余1,b除以5余4,如果3a>b,那么3a-b除以5余几?
  A.0 B.1 C.3 D.4
  【思路点拨】此题为很明显的余数问题,因此可以直接利用同余的性质解出问题。
  【解析】a除以5余1,则3a除以5余3 (两个数积的余数与余数的积同余)
  b除以5余4,则3a-b除以5余-1 (两个数差的余数与余数的差同余)
  因为余数大于0而小于除数,-1+5=4,故所求余数为4。
  所以正确答案为D。
  二、剩余
  在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”意思是,一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,问这个数最小是多少?这类问题在我国称为“孙子问题”,也称为剩余问题。关于这一问题的解法,国际上称为“中国剩余定理”。
  以此题为例,下面为大家介绍一种常规的解题方法。
  我们首先需要先求出三个数:
  第一个数能同时被3和5整除,但除以7余1,即15;
  第二个数能同时被3和7整除,但除以5余1,即21;
  第三个数能同时被5和7整除,但除以3余1,即70;
  然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加,即:15×2+21×3+70×2=233。
  最后,再减去3、5、7最小公倍数的若干倍,即:233-105×2=23。
  【例题】
  一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有:
  A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
  【思路点拨】此题为剩余问题。此题要求的是满足条件的三位数的个数,我们应该首先求出满足条件的最小自然数,然后加上4、5、9的最小公倍数的若干倍,使之成为三位数即可。
  【解析】首先看后两个条件,很容易看出7是满足条件的最小的自然数,而7正好也满足第一个条件。4、5、9的最小公倍数为180,因此满足条件的三位数形式为7+180n,n为自然数,要使7+180n为三位数,则n=1、2、3、4、5,满足条件的三位数有5个。所以正确答案为A。


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