数量关系好办法之一元二次函数求极值

Tag: 2023年江苏公务员公务员考试 2022-11-23 【打印】

　　从最近几年行测考情来看，极值问题是数量关系中的常考题型，特别是一元二次函数求极值的问题考查频次较高。今天江苏公务员考试网小编带大家来了解一下一元二次函数求极值问题。

　　题型介绍

　　一元二次函数求极值问题，实际上就是根据题干所给的信息条件，可以将所求问题表示成关于某个未知量的一元二次函数，然后根据函数解析式的特点确定在何时取极值的过程。

　　解题方法

　　1.利用图像特点：

　　一元二次函数的一般式为

由图像可知a>0时，开口向上，在对称轴处y取最小值;a<0时，开口向下，在对称轴处y取最大值。如下图：

　　此外，若函数是y=(ax+m)(bx+n)，

的形式，这可以令y=0，求此时得x的两个取值x1和x2，则函数y的对称轴为

在对称轴处，函数y取最大值或最小值。

　　2.若函数可以写成y=k(x-p)(q-x)，

的形式，也可以考虑利用均值不等式相关结论来求最值。因为(x-p)与(q-x)的和为定值，根据和一定，乘积有最大值的结论，当且仅当(x-p)=(q-x)时，(x-p)×(q-x)有最大值，再结合k的符号，即可确定此时y的最值。

　　例题应用

　　例1、某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是：

　　A.5元 B.6元 C.7元 D.8元

　　【答案】C。解析：由利润公式可知，总利润=(销售单价-进货单价)×销售量，但销售单价和销售量均和降价的多少有关，不妨设销售单价应降低x元，则每天可多售出20x件，销售的总利润为y，此时y=(100-x-80)×(120+20x)。由此发现，此题为一元二次函数求极值问题。

　　方法一：由上式，括号打开化简后可得：总利润y=-20x2+280x+2400。此时，a=-20<0，故y的图像为开口向下，且在对称轴处有最大值，

y最大，即销售单价降低7元时，总利润最大。

　　方法二：由上式，化简后可得：由上总利润y=(20-x)×(120+20x)，令y=0，可得x=20或者x=-6，则函数y的对称轴为

结合开口方向，此时y取最大值，即销售单价降低7元时，总利润最大。

　　方法三：由上式，化简后可得：由上总利润y=20(20-x)×(6+x)，此时(20-x)+(x+6)=14，二者和为定值，由均值不等式结论，故当且仅当(20-x)=(x+6)时，(20-x)×(x+6)有最大值，即y有最大值，此时x=7，即销售单价降低7元时，总利润最大。

　　综上，答案选择C项。

　　例2、北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售期间某商家发现，进价为每个40元的“冰墩墩”，当售价定为44元时，每天可售出300个，售价每上涨1元，每天销量减少10个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为：

　　A.51元 B.52元 C.54元 D.57元

　　【答案】D。解析：由利润公式可知，销售利润=(售价-进价)×销量，而售价和销量均和涨价多少有关，故可设涨价x元，销量则会减少10x个，设销售利润为y，则y=(44+x-40)×(300-10x)。由此发现，此题为一元二次函数求极值问题。

　　方法一：由上式，括号打开化简后可得：销售利润y=-10x2+260x+1200。此时，a=-10<0，故y的图像为开口向下，在对称轴处有最大值，

y最大，即售价上涨13元至57元时，销售利润最大。

　　方法二：由上式，化简后可得：y=(4+x)×(300-10x)。令y=0，可得x=-4或者x=30，则函数y的对称轴为

结合开口方向，此时y取最大值，即售价上涨13元至57元时，销售利润最大。

　　方法三：由上式，化简后可得：由上y=10(x+4)×(30-x)。此时(x+4)+(30-x)=34，二者和为定值，由均值不等式结论，故当且仅当(x+4)=(30-x)时，(x+4)×(30-x)有最大值，即y有最大值，此时x=13，即售价上涨13元至57元时，销售利润最大。

　　综上，答案选择D项。

　　通过以上两道例题我们可以看出，一元二次函数求极值的关键在于：1.快速得到所求与未知量之间的函数解析式;2.根据函数解析式的形式或者思维习惯选择适当的方法确定函数在何处取极值。希望大家通过学习该方法，能够在平时练习时，有效解决此类问题。

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