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2022江苏省考行测指导:不定方程的解题思路

Tag: 2022年 江苏公务员 公务员考试 2021-08-05    来源:江苏公务员考试网 【 打印 】 我要提问我要提问
  定方程(组)是指未知数个数多于方程个数,不能通过一般的消元法直接得到唯一解,常与差倍比问题、利润问题等热门考点相结合,故需要考生们在备考的过程中加以重视。今天江苏公务员考试网小编就与大家一起探讨一下公务员行测考试中不定方程(组)的解题思路。
 
  不定方程(组)包含不定方程与不定方程组,而根据题目条件对未知数是否必须为整数的限制,可以将不定方程组分为限定性不定方程组和非限定性不定方程组。前者指未知数必须为正整数,后者则无此要求。两种类型的不定方程组问题都有其固定的解题思路,方法性与技巧性比较强,掌握相应的思路去解题便会事半功倍。
 
  不定方程
 
  题型特征:根据题干可列出一个包含两个未知数的方程
 
  解题方法:首先分析奇偶、倍数、尾数等数字特性,然后尝试代入排除
 
  例1.【2015联考】每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参加植树活动,已知去A地每人往返车费20元,人均植树5棵,去B地每人往返车费30元,人均植树3棵,设到A地有员工x人,A、B两地共植树y棵,y与x之间满足y=8x-15,若往返车费总和不超过3000元时,那么,最多可植树多少棵?
 
  A.498
 
  B.400
 
  C.489
 
  D.500
 
  【解题思路】已知植树棵数 y=8x-15,一个方程两个未知数为不定方程,8x为偶数,15为奇数,偶数-奇数=奇数,则y为奇数,排除A、B、D项,正确答案为C。
 
  【点评】本题若采用常规解方程的方法也可解题,但耗费时间久,不适合考场使用。本题不需要算车费等其他数值,因此可利用数字特性直接锁定答案。
 
  不定方程组
 
  1.限定性不定方程组
 
  题型特征:可根据题意列出方程组,未知数多于方程数,且未知数必须为正整数,常用来表示人数、盒子或者其他物体的个数等
 
  解题方法:先消元转化为不定方程,再按不定方程求解
 
  例1.【2017江苏】小王打靶共用了10发子弹,全部命中,都在10环、8环和5环上,总成绩为75环,则命中10环的子弹数是:
 
  A.1 发 B.2 发
 
  C.3 发 D.4 发
 
  【解题思路】设命中10环、8环、5环的子弹数分别为正整数x、y、z。由子弹总数为10发,总环数为75环,可列不定方程组:
 
  x+y+z=10……①;
 
  10x+8y+5z=75……②;
 
  求命中10环子弹数x,由②-①×5可得不定方程5x+3y=25。5x、25均为5倍数,3y也必然为5倍数,y只能为5,此时x=2,正确答案为B。
 
  【点评】将不定方程组消元变为不定方程时,求谁保留谁,消掉另外两个未知数中较好计算的一个。本题也可直接分析方程②,10x+8y+5z=75中,10x、5z、75均为5的倍数,则8y一定也是5的倍数,y=5、10、15…,加和不能超过 75,则 y=5,代入求解同样可以锁定B项。但该方法有局限性,如当z的系数为6时无法使用,需要根据具体题目具体分析。
 
  例2.【2018四川下】某企业采购A类、B类和C类设备各若干台,21台设备共用48万元。已知A、B、C类设备的单价分别为1.2万元、2万元和2.4万元。问该企业最多可能采购了多少台C类设备?
 
  A. 16
 
  B. 17
 
  C. 18
 
  D. 19
 
  【解题思路】设该企业采购A类、B类和C类设备数量分别为A、B、C。已知“21台设备共用48万元”,则A+B+C=21……①,1.2A+2B+2.4C=48……②。联立两式,②×5-①×6可得:4B+6C=114,化简得:2B+3C=57。由于设备购买数量一定是不为零的整数,根据倍数特性,57和3C均可以被3整除,则2B一定可以被3整除。若要C类设备最多即B最小,B最小为3,代入原式可得:C=17,A=1,符合题意。因此该企业最多可能采购了17台C类设备,正确答案为B。
 
  【点评】消元时也可消掉B,②-①×2可得:-0.8A+0.4C=6,约分得:-2A+C=15,即C-2A=15。2A为偶数,15为奇数,奇数-偶数=奇数,则C必须是奇数,排除A、C项。剩二代一,题干要求“最多”,因此从最大的选项开始代入,代入D项:19-2A=15,解得 A=2,B=0,由于设备购买数量一定是不为零的整数,故B≠0,排除D项。提示大家,正确答案有且仅有一个,排除掉三个错误答案后,剩下的一定为正确答案,无需再次验证。
 
  2.非限定性不定方程组
 
  题型特征:可根据题意列出方程组,未知数多于方程数,且未知数不一定为正整数,常指物品的价格、工作的时间等,需要求解的是一组未知数的和。
 
  解题方法:特值法(赋零)或配系数法
 
  当未知数表示时间和钱,可以为小数,这样的方程组有无数组解,有好多解都满足方程,随便找一组即可,而0最简单,因此可以用赋零法。建议使用时让最复杂的未知数为0,代入进行计算。而配系数法中系数是凑出来的,若考场上无法凑出来,则无法求解,因此建议用赋零法解题。
 
  例1.【2016春季联考】木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时,加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张,共需要多少小时?
 
  A. 47.5
 
  B. 50
 
  C. 52.5
 
  D. 55
 
  【解题思路】假设每张桌子、凳子、椅子的所需时间分别为a小时、b小时、c小时,则2a+4b=10、4a+8c=22,化简得到a+2b=5①,a+2c=5.5②,①+②=2a+2b+2c=10.5,则10(a+b+c)=52.5,所需时间52.5小时,正确答案为C。
 
  【点评】本题中未知数为时间,时间不一定是整数,且要求的量为一组数的和,若考生数字敏感性较差,无法通过配系数求解,也可用赋零法解题。赋值a=0,原方程组可转化为4b=10,8c=22,4(b+c)=21,10(a+b+c)=52.5。
 
  【例2】【2018上海】现有甲、乙、丙三种货物,若购买甲1件、乙3件、 丙7件共需200元;若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需多少元?
 
  A. 50
 
  B. 100
 
  C. 150
 
  D. 200
 
  【解题思路】根据题干条件,假设甲、乙、丙的价格依次是x、y、z元,则根据题意可列方程组:x+3y+7z=200①,2x+5y+11z=350②。赋丙的价格为0,即z=0。原方程组转化为x+3y=200;2x+5y=350,解得:x=50,y=50。可得:x+y+z=50+50+0=100元,正确答案为B。
 
  【点评】若采用配系数法,可将原方程组:x+3y+7z=200①,2x+5y+11z=350②,①×3得:3x+9y+21z=600③,②×2:4x+10y+22z=700④,④-③解得 x+y+z=100。配系数法不是每道题都适用,需要较强的数字敏感度,建议优先掌握赋零法。
 
  掌握不定方程(组)的解法可有效提高和差倍比、经济利润、年龄问题等常考题型的解题速度与正确率,建议各位考生加强练习,熟练运用。
 
  最后祝愿各位考生备考顺利,成功上岸!


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名师寄语

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